利用中垂线有关定理证明

孙德荣

利用线段垂直平分线的有关定理，可以简捷地证明一些几何问题。

例1. 如图1，已知AB＝AC，BD＝DC，AD、BC相交于点O。

求证：AD⊥BC

图1

证明：因AB＝AC，故点A在BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

同理，点D在BC的垂直平分线上

∴AD是BC的垂直平分线

∴AD⊥BC

点拨：此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质或线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证，显得更加直接和简捷。

例2. 如图2，AB＝AC，DB＝DC，E是AD上一点。

求证：BE＝CE

证明：连接BC

图2

由AB＝AC，BD＝CD，可知A、D在线段BC的中垂线上

于是由两点确定一条直线，可知AD是BC的中垂线

从而得到BE＝EC。

点拨：此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可出奇制胜，而利用全等三角形证明却较烦琐，因而在证题思路的分析中，要充分发挥后续定理的作用。

例3. 如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。

求证：CM＝2BM

图3

证明：连接AM

因AB＝AC，∠A＝120°，故∠B＝∠C＝30°

又MN是AB的垂直平分线，故BM＝AM

故∠MAB＝∠B＝30°

∴∠CAM＝90°

故CM＝2AM＝2BM

点拨：解答本题综合运用了等腰三角形的性质、中垂线的相关定理、直角三角形的性质，其中巧妙地利用中垂线的相关定理使得解答迅速、简捷，同学们可从中体会一下证明的技巧。