影儿 | 发布日期:2009-09-14 22:04:27
构造全等三角形证题 在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD。 证明:延长AD至E,使AD=DE,连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD。 又∵∠1=∠2,AD=DE, ∴△ABD≌△ECD(SAS)。AB=CE。 ∵在△ACE中,CE+AC>AE, ∴AB+AC>2AD。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。求证:AB+BD=AC。 证明:将△ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处,即:在AC上截取AE=AB,连接ED。如图4。 ∵∠1=∠2,AD=AD,AB=AE, ∴△ABD≌△AED(SAS)。 ∴BD=ED,∠ABC=∠AED=2∠C。 而∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠C=∠EDC。所以EC=ED=BD。 ∵AC=AE+EC,∴AB+BD=AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5,△ABC中,AB=AC。E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。求证:EF=FD。 证明:过E作EM∥AC交BC于M,如图6。 则∠EMB=∠ACB,∠MEF=∠CDF。 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。 ∴∠B=∠EMB。故EM=BE。 ∵BE=CD,∴EM=CD。 又∵∠EFM=∠DFC,∠MEF=∠CDF, ∴△EFM≌△DFC(AAS)。EF=FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D,交BM于E。求证:∠AMB=∠DMC。 证明:作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC=90°,AD⊥BM, ∴∠FAC=∠ABM=90°-∠BAE。 ∵AB=AC,∠BAM=∠ACF=90°, ∴△ABM≌△CAF(ASA)。 ∴∠F=∠AMB,AM=CF。 ∵AM=CM,∴CF=CM。 ∵∠MCD=∠FCD=45°,CD=CD, ∴△MCD≌△FCD(SAS)。所以∠F=∠DMC。 ∴∠AMB=∠F=∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD>∠CAD。求证:AB>AC。 证明:把△ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即:在DB上截取DE=DC,连接AE。如图10。 ∴△ADC≌△ADE(SAS)。AC=AE,∠C=∠AED。 ∵∠AED>∠B,∴∠C>∠B。从而AB>AC。 六、绕点旋转构造全等三角形 例6. 如图11,正方形ABCD中,∠1=∠2,Q在DC上,P在BC上。求证:PA=PB+DQ。 证明:将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,使AD与AB重合,得到△ABM,即:延长CB到M,使BM=DQ,连接AM。如图12。 ∴△ABM≌△ADQ(SAS)。 ∴∠4=∠2=∠1,∠M=∠AQD。 ∵AB∥CD,∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP。 ∴∠M=∠MAP。 ∴PA=PM=PB+BM=PB+DQ(因BM=DQ)。 |